Tuning, timbre, spectrum, scale: 2

 Este libro de William A. Sethares tiene como objetivo plantear la teoria necesaria para construir escalas basandose en distintos criterios, tales como la distribucion de los parciales en el espectro de un sonido, esta traduccion es del segundo capitulo cuando trata sobre los distintos tipos de formacion espectral:

 

Una barra de metal

No solo las cuerdas son las que vibran con frecuencias caracteristicas. Cada objeto fisico tiende a resonar a una frecuencia particular. Para objetos que no son cuerdas, de cualquier forma, esas frecuencias carcteristicas usualmente no son tan armonicamente relacionadas.

Uno de los ejemplos mas simples es una barra de metal uniforme como los que se usan en un metalofono o en una campana de viento. Cuando la barra es golpeada, se dobla y vibra, excitando el aire y produciendo sonido. La figura 2.7 muestra los primeros 3/4 de segundo de la forma de onda de una barra y su correspondiente espectro. Como es usual, la forma de onda describe la envolvente del sonido, indicando como la amplitud evoluciona en el tiempo. El espectro muestra claramente con lo que esta formado el sonido: cuatro prominentes parciales y algo de ruido en la alta frecuencia. Los parciales estan a 526, 1413, 2689, y 4267 Hz. Considerando al primer parcial como fundamental a f=526 Hz, esto es f, 2,68f, 5,11f, y 8,11f, lo cual ciertamente no es una relacion armonica; es decir, las frecuencias no son multiplos enteros de alguna fundamental audible. Para barras de diferente largo, el valor de f cambia, pero la relacion entre las frecuencias se mantiene (aprox.) igual.

Fig. 2.7

El espectro de la cuerda ideal fue explicado fisicamente como debido al requerimento de estar fija en ambos extremos, lo cual implica que el periodo de todas las vibraciones sostenidas debe caber uniformemente en el largo de la cuerda. La barra de metal es libre en ambos extremos, y por esto, no existe tal restriccion. En cambio el movimiento es caracterizado por modos de deformacion que especifican como la barra vibrara en el momento mismo de ser puesta en movimiento. Los primeros tres de esos modos esta representado en la Fig. 2.8, los cuales difieren significantemente de los modos de la cuerda representados Fig. 2.6. Teoricos han sido capaces de escribir y resolver las ecuaciones que describen este tipo de movimiento. Para una barra de metal ideal, si la fundamental ocurre a la frecuencia f, el segundo parcial esta 2.76f, el tercero 5.4f, y el cuarto a 8.93f. Esto es cercano al espectro medido de la barra en la Fig. 2.7. Las discrepancias usualmente las causadas por pequeñas deformidades en la composicion de la barra o por pequeñas desviaciones en el peso o el tamaño de la barra. El ruido de alta frecuencia es usualmente debido por el impacto, el sonido del golpe en la barra, el cual no se incluye en los calculos.

Al igual que con la cuerda es posible que tu mismo descubras estos parciales. Encuentra una campana de viento cilindrica, o una extension metalica para una aspiradora. Sosten la barra a aproximadamente 2/9 de su largo, golpea, escucha con cuidado. Cuantos parciales puedes oir? Si la sostienes desde el medio y golpeas, entonces la fundamental es atenuada y el tono sube hasta el segundo parcial -bien . Ahora, mientras mantienes el sonido del segundo parcial claro en la mente, sosten y golpea la barra otra vez en el punto 2/9. Escucharas la fundamental por supuesto, pero si escuchas cuidadosamente, aun puede oirse el segundo parcial. Por el apagado selectivo de los parciales, puedes encontrar el sonido de varios de los parciales graves al primer plano. Escuchando cuidadosamente puedes continuar distinguiendolos incluso al mezclarse con todos los demas.

Asi como la cuerda, diferentes frecuencias carcteristicas se pueden enfatizar por golper la barra en distintos lugares. Usualmente esto no cambiara la ubicacion de los parciales, pero cambiara sus amplitudes relativas, y por esto la cualidad tonal del instrumento. Observa la tecnica de un percusionista de conga. Al golpear en distintas partes, el percusionista cambia dramaticamente el tono. Tambien, al presionar una mano libre en la membrana, ciertos parciales pueden ser selectivamente apagados, manipulando el timbre.

 
Fig 2.8

La cuerda y la barra son solo dos de un casi infinito numero de objetos que producen sonido. Las (aproximadas) vibraciones armonicas de la cuerda son tambien caracteristicas de muchos otros instrumentos musicales. Para el caso, cuando el oscila en un tubo, su movimiento esta limitado en forma muy similar a como la cuerda esta limitada por sus extremos fijos. En el extremos cerrado de un tubo, el flujo de aire debe ser cero, asi como en el extremo abierto, la presion cae a cero. Los intrumentos tales como la flauta, el clarinete, la trompeta, y otros, todos tienen un espectro que es primariamente armonico. En contraste, la mayoria de los instrumentos de percusion, como bateria, marimba, kalimba, gong, y otros, tienen un espectro que es inarmonico. La practica musical suele incorporar ambos tipos de instrumento.

Escucha analitica vs. escucha holistica: fusion tonal

Casi todos los sonidos musicales consisten de una gran variedad de parciales, esten estos armonicamente relacionados o no. Usando tecnicas tales como el apagado selectivo y la exitacion selectiva de modos, es posible (con algo de practica) aprender a escuchar esos parciales, para percibir directamente el espectro del sonido. Este tipo de escucha es llamado escucha "analitica", en contraste con la escucha "holistica" en la cual los parciales se fusionan en una sola entidad perceptual. Al escuchar analiticamente, el sonido se fragmenta en sus elementos constituyentes. Al escuchar holisticamente, cada sonido es percibido como una singularidad caracterizada por su timbre, tono, o color.

La escucha analitica es en algo analoga a la habilidad de un musico entrenado para reconocer con claridad cada una de las diferentes partes en una partitura compleja donde un oyente mas ingenuo (y mas holistico) percibe una gran masa sonora. **(asi tambien es la habilidad de un hablante nativo de un idioma en comparacion a un estuiante del idioma)**

Cuando se le presenta una gran masa de sonido, el oido debe decidir cuantas notas, tonos, o instrumentos hay presentes. Considerar el acorde cerrado de una cuarteto de cuerdas. Al extremo esta el oido totalmente analitico que "escucha hasta el ultimo" de un largo numero de parciales. Cada parcial puede ser atendido en su individualidad, y cada uno tiene sus propios atributos como tono e intensidad. Al otro extremo esta el oyente completamente holistico el que escucha el finale como un solo gran tono, con los cuatro instrumentos fusionandose en una sola rica y compleja textura sonora. Es es llamado la raiz o "bajo fundamental" en los trabajos de Rameau [B: 145]. Usualmente la escucha se ubica en un lugar intermedio. Los parciales de cada instrumento se fusionan, pero los instrumentos permanecen perceptibles individualmente, cada uno con su propia afinacion, intensidad, vibrato, y otras. Que pistas fisicas hacen posible esta destacable cualidad de la percepcion posible?

Una via de investigacion para esta pregunta es experimentalmente general grupos de parciales y preguntarle a oyentes "cuantas notas" oyen. Varias cualidades de la presentacion notablemente sustentan la fusion tonal. Para el caso, si los parciales:

1-Empiezan al mismo tiempo (ataque sincronico)

2-Tienen envolventes similares (similar variacion de la amplitud en el tiempo)

3-Estan relacionados armonicamente

4-Tienen el mismo rango de vibrato

entonces tienen mas tendencia a fusionarse en una sola entidad perceptual. Casi cualquier cualidad comun de un subgrupo de parciales los ayuda a ser percibidos unidos. A veces la viola ataca un instante antes, el vibrato del cello es un poco mas rapido, o una tecnica agresiva del arco da forma al tono del primer violin. Toda esa clase de rarezas son pistas que pueden ayudar al oido a separar los parciales de cada instrumento al estar juntos mientras distingue viola de violin. La familiaridad con la cualidad timbrica de un instrumeto es tambien importante cuando se lo intenta aislar de la masa sonora que lo rodea, y asi pueden haber "plantillas" instrumentales adquiridas con la escucha repetida.

La fusion y fision de sonidos es facil de oir usando una serie de campanas de viento con un largo sustain. Tengo un conjunto muy bello llamado chimes of partch, hecho de tubos huecos de metal. Cuando el badajo golpea el tubo por primera vez, hay un "ding" que inicia el sonido. Despues de varios golpes y unos segundos, la individualidad de las vibraciones del tubo se pierde. El conjunto completo empieza un "hum" como un solo tono complejo. Las vibraciones se han fusionado. Cuando un nievo ding ocurre, se oye inicialmente separado, pero pronto se une en el hum.

A riesgo de aburrir con lo obvio, es valioso mencionar que varios de los terminos comunmente usados en discurso musical es esencialmente ambiguo. El golpe de una barra de metal puede ser percibido como una "nota" simple por un oyente holistico, asi tambien como una diversa coleccion de parciales por un oyente analitico. Como el oyente analitico asigna un tono e intensidad a cada parcial, el golpe es percibido como un acorde. Entonces el mismo estimulo sonoro puede ser legitimamente descrito como una nota o como un acorde.

La habilidad de controlar la fusion tonal de un sonido pude volverse cucial en la composicion o presentacion con sonidos electronicos de cualidad timbrica infamiliar. Por ejemplo, es importante para el compositor estar conciente de "cuantas notas" estan sonando. Lo que puede parecer una sola nota (en una partitura electronica o en el teclado de un sintetizador) puede muy bien fisionarse en multiples tonos para un oyente tipico. Por la influencia del ataque coincidente, la envolvente, vibrato, armonicidad, y otras, el compositor puede ayudar a asegurar que lo que sea oido es lo que se intenta. Con el enfasis cuidadoso de los parametros del sonido, el compositor o musico puede guiar al oyente en uno u otro modo perceptual.

El espectro se corresponde con el comportamiento fisico de la vibracion de cuerdas, columnas de aire, y barras que forman los instrumentos musicales. Tambien se corresponde bien con la escucha analitica de los humanos al percibir esos eventos sonoros. De cuaquier forma, la gente suele oir holisticamente, y un completo vocabulario se ha desarrollado para describir el color tonal, la cualidad sonora, o el timbre de un tono.

Que es el timbre?

Si un arbol cae en el bosque, hay algun timbre? De acuerdo a la American National Standards Institute, la respuesta debiera ser no, habiendo o no quien lo oiga. Definen:

Timbre es ese atributo de la sensacion auditiva en terminos del cual un oyente puede distinguir dos sonidos similarmente presentados y teniendo el mismo tono y volumen como diferentes.

Esta definicion es confusa, en parte porque dice lo que el timbre no es (timbre y volumen) en vez de lo que es. Mas aun, si un sonido no tiene un tono (como el crujido de un arbol cayendo o el sonido de los zapatos contra las hojas secas), entonces no puede ser "similarmente presentado y teniendo el mismo tono," y por lo tanto no hay timbre en lo absoluto. Pratt y Doak sugieren:

Timbre es el atributo de la sensasion auditiva por la cual un oyente puede juzgar dos sonidos como diferentes usando otro criterio distinto de la altura, intensidad o duracion.

Y ahora el arbol tiene timbre cuando cae, aunque la definicion aun no especifica lo que el timbre es.

Desafortunadamente, muchas de las descripciones de percepcion timbrica sobresimplifican. Para el caso, un diccionario bien conocido dice en su definicion de timbre que:

En analisis, la diferencia entre colores tonales de instrumentos esta fundada en la correspondencia de las diferencias de los armonicos representados en el sonido (ver Series Armonicas).

Esto es simplificar hasta el punto de la tergiveracion. Cualquier sonido (como una barra de metal) que no tiene armonicos (parciales que estan a un multiplo entero de la fundamental) no tendrian timbre. Reemplazando "armonico" por "parcial" o "sobretono" sugiere una definicion que iguala al timbre con el espectro, como en esta entrada de la Columbia Encyclopedia:

La cualidad sonora es determinada por los sobretonos, el timbre distintivo de cualquier instrumento es el resultado del numero y la prominencia relativa de los sobretonos que produce.

Aun asi gran parte de la nocion del timbre de un sonido puede ser atribuida al numero, la amplitud y el espaciado de las lineas espectrales del espectro de un sonido, esto no puede ser la historia completa porque sugiere que la envolvente y el ataque no contribuyen al timbre. Quizas la mas dramatica demostracion de esto es tocar un sonido al reves. El espectro es el mismo ya sea tocado del principio o del final, aun asi el sonido es muy distinto. En el CD demostraciones auditivas, un coral de Bach es tocado atras del piano y delante de el, y la cinta es revertida. En el caso de atras y revertido, la musica se mueve hacia atras, pero cada nota del piano esta revertida. El piano tiene muchas de las caracteristicas timbricas del organo, demostrando la importancia del tiempo de envolvente al determinar el timbre.

Escalamiento multidimensional

No es posible construir un solo continuo en el cual todos los timbre puedan ser simplemente ordenados como se hace con la intensidad o el tono. Ya que el timbre es un atributo "multidimensional" del sonido, aunque exactamente cuantas dimensiones requiere es un punto de significativo debate. Algunas de las escalas subjetivas propuestas para el timbre incluyen:

frio-caliente

suave-duro

puro-rico

lleno-vacio

estatico-dinamico

colorido-incoloro

compacto-disperso

embotado-agudo

Por supuesto, esos atributos son descripciones perceptuales. A cuales propiedades fisicas medibles corresponden? Algunas se relacionan a efectos temporales (como la envolvente y el ataque) y otras a efectos espectrales (como el cumulo y el espaciado de los parciales).

El ataque es un efecto transtorio que rapidamente desaparece. El sonido de un arco de violin raspando o el de una guitarra con pua ayuda a diferenciar los dos instrumento. La respiracion inicial de un flautista o deslizante sobretono de una trompeta, entregan el caracter timbrico que los hace completamente identificables. En un experimento interesante se le pedia a un panel de jurados con entrenamiento musical que identificaran sonidos instrumentales aislados a los cuales se les habia removido el primer medio segundo. Algunos instrumentos, como el oboe, eran correctamente identificados. Pero muchos otros eran confundidos. Para el caso, muchos de los jurados tomaron al saxofon tenor por un clarinete, y un numero sorprendente penso que el saxofon alto era un cuerno frances.

La envolvente describe como la amplitud del sonido se desarrolla en el tiempo. En un piano, por ejemplo, el sonido decae en un rango casi exponencial, en cambio el sustain de un instrumento de viento esta en directo control del interprete. Incluso musicos experimentados tienen dificultades para identificar la fuente de un sonido cuando su envolvente es modificada. Para investigar esto, Strong y Clark generaron sonidos con el espectro de una instrumento y la envolvente de otro. En muchos casos (oboe, tuba, clarinete, fagot) ellos encontraron que el espectro era una pista mas importante para la identidad del instrumento, mientras en otros casos (flauta), la envolvente tenia una importancia primordial. Los dos factores eran de importancia comparable en los otros casos (trombon, cuerno frances).

En una serie de estudios sobre el timbre, los investigadores generaron sonidos con varios tipos de modificaciones, y les preguntaron a sujetos que calificaran su similaridad percibida. Un "algoritmo de escalado multidimensional" fue usado entonces para transformar los juicios iniciales en una imagen en la cual cada sonido es representado por un punto entonces los puntos mas cercanos correspondian a sonidos mas similares. Los eje del espacio podian ser interpretados como definiendo las caracteristicas notables que distinguen los sonidos. Los atributos incluyen:

1-Grado de sincronicidad del ataque y del decaimiento de los parciales

2-Cantidad de fluctuacion espectral

3-Presencia o ausencia de energia inarmonica de alta frecuencia en el ataque

4-Ancho de banda de la señal

5-Balance de energia entre parciales altos y bajos

6-Existencia de formantes

Por ejemplo, Grey y Gordon cambiaron las envolventes espectrales de pares de sonidos instrumentales (por ejemplo cuerno frances y fagot) y les pidieron a sujetos que calificaran la similaridad y diferencia de los hibridos resultantes. Hallaron que los juicios de los oyentes quedaban bien representados por un espacio tridimensional en el cual una dimension corresponde a la distribucion de la energia espectral. Otra dimension corresponde a las fluctuaciones espectrales del sonido, y propusieron que esto proveia un correlato fisico para la cualidad subjetiva de un timbre estatico contra uno dinamico. La tercera dimension involucra la existencia de inarmonicidad de alta frecuencia durante el ataque, para el caso, como el crujido ruidoso de un arco de violin. Propusieron que esto correspondia a la escala subjetiva de suavidad contra dureza o quizas a la dicotomia calma contra explosividad.

Analogias con las vocales

El efecto perceptual de las modificaciones espectrales a veces no es sutil. Grey y Gordon afirman que "uno escucha los tonos cambiando hacia cada tono como un color vocal pero maneteniendo el ataque y decaimiento originales." Como la distribucion espectral del discurso le da a las vocales su sonido particular, esto provee otra fructifera via para la descripcion del timbre. Slawson desarrolla un lenguaje completo para hablar acerca del timbre basado en la analogia con los tonos de las vocales. Empieza con la observacion de que muchos sonidos musicales pueden ser descritos por sus formantes, Slawson propone que los colores de los sonidos musicales pueden ser descritos como fuentes variables de excitacion pasadas por una serie de filtros fijos. Cambios estructurados en los filtros pueden llevar a cambios perceptiblemente sensibles en la cualidad sonora, y Slawson describe esas modificaciones en terminos de las frecuencias de los primeros dos formantes. Terminos como relajacion, apertura, agudeza y pequeñez describen varios tipos de movimiento en el espacio bidimensional definido por las frecuencias centrales de los dos formantes, y corresponden perceptiblemente a las transiciones entre los sonidos vocales. Para el caso, abrir la vocal sostenida ii da lugar a ee y despues a ae, y esto corresponde fisicamente al aumento de frecuencia en el primer formante.

Espectro y sintetizador

En principio, los sintetizadores musicales tienen el potencial de producir cualquier sonido posible, y por lo tanto, cualquier timbre posible. Pero los sintetizadores tiene que organizar sus capacidades de generacion sonora para asi permitir el simple control sobre los parametros del sonido que son perceptiblemente relevantes para el musico. Aunque no es una teoria de la percepcion timbrica, la organizacion de un sintetizador tipico es una realizacion practica probada en el mercado que encarna muchas de las dicotomias perceptuales de las secciones previas. Una discusion detallada del diseño del sintetizador puede hallarse en B:30 o B:158.

La generacion sonora en un sintetizador tipico parte con la creacion de una forma de onda. Esta forma de onda se puede almacenar en una memoria, o puede ser generada por algun algoritmo como el FM, modelado de onda no linear, o cualquier numero de otros metodos. Es entonces pasada por una serie de filtros y moduladores que forman el sonido final. Quizas el modulador mas comun es el generador de envolventes, el cual provee una modulacion de la amplitud de la señal. Una implementacion tipica como en Fig. 2.9 tiene una envolvente de cuatro segmentos con ataque, decay, sustain, y release. La porcion de ataque dicta cuan rapido la amplitud del sonido sube. Un ataque rapido tiende a ser oido como un sonido percusivo (agudo o duro), en cambio un araque lento podria ser asociado a sonidos como los instrumentos de viento los cuales suenan mas silibantes o "suaves". La porcion del sustain es el estado de mantencion del cual el sonido decae despues de un tiempo determinado por los parametros de decaimiento. En un instrumento musical basado en samples, la porcion del sustain consiste de un pequeño segmento (comparativamente) de la forma de onda, llamado loop, que es repetido una y otra vez hasta soltar la tecla, momento en el que el sonido se apagara a un radio determinado.

Aunque la porcion de ataque dicta algunos de los aspectos perceptuales, el estado de mantencion del sustain usualmente dura mas (excepto en percusiones), y tiene un impacto perceptual mayor. Dependiendo de la forma de onda subyacente, el sustain puede ser "compacto" o "disperso", "brillante" o "apagado", "colorido" o "descolorido," dinamico o estatico, puro o rico. La mayoria de esas dicotomias estan relacionadas con propiedades espectrales de la onda, el diseño de un sintetizador tipico puede ser visto como soporte para una vision espectral del timbre, aunque temperado con envolventes, filtros, y moduladores.

Fig. 2.9

Redondeo timbrico

Hay varias aproximaciones a la percepcion timbrica, incluyendo escalado multidimensional, analogias con vocales, y una aproximacion de sintesis pragmatica. Por supuesto, hay muchas otras formas posibles para hablar de los sonidos. Para el caso, Schafer en Canada distingue cuatro categorias amplias en las que los sonidos se pueden clasificar: propiedades fisicas, atributos percibidos, funcion o significado, y propiedades afectivas o emocionales. Similarmente, Erickson clasifica y categoriza usando terminos como "masas sonoras", "granos", "sonido crujiente", y otros, exponiendo un amplio rango de tecnicas musicales basadas en dichos fenomenos sonicos.

Este libro toma una restringida y comparativamente simplista aproximacion al timbre. Aunque reconociendo que efectos temporales como el ataque y el decaimiento son importantes, no enfocamos en la porcion sostenida del sonido donde el timbre es mas o menos sinonimo de espectro estacionario. Aunque admitiendo que el de un sonido lleva tanto significado como emocion, nos restringimos a un conjunto de cualidades cuntificables que pueden ser correctamente correlacionadas con las percepciones de consonancia y disonancia. Esas son simplificaciones bastante pragmaticas. Al enfocarse en los aspectos espectrales del sonido, es posible generar familias completas de sonidos con propiedades especttrales similares. Para el caso, todos los instrumentos armonicos pueden ser vistos como pertenecientes a una sola familia de sonidos. Similarmente, cada coleccion inarmonica de parciales tiene una familia de sonidos diferentes creados por la variacion de caracteristicas temporales. Asi como veremos y escucharemos, cada familia de sonidos tiene una afinacion unica en la cual puede ser tocado mas consonantemente.

Usando el espectro como una medida del timbre es como tratar de hacer que los sonidos musicales se mantengan lo suficiente para analizarlos. Pero la musica no permanece por mucho, y hay un peligro de hacer lecturas demasiado estaticas. He intentado evitar este problema por la constante referencia a ejemplos sonoros y, donde sea posible, ejemplos musicales.

Frecuencia y tono

El conocimiento convencional dice que la altura percibida es proporcional al logaritmo de la frecuencia de una señal. Para ondas puras seno, esto es aproximadamente cierto. Para la mayoria de los sonidos instrumentales como instrumentos de cuerda y viento, es facil de indentificar una fundamental, y otra vez el tono es facil de determinar. Pero para tonos mas complejos, como los de campanas, percusiones y otros sonidos inarmonicos, la situacion es notablemente incierta.

Altura de sonidos armonicos

Pitagoras de Samos es considerado el primero en observar que el tono de una cuerda esta directamente relacionado con su largo. Cuando el largo es reducido a la mitad (un ratio de 1:2), el tono sube una octava. De forma similar, los intervalos musicales como cuarta o quinta corresponden a largos de cuerda con un ratio simple: 2:3 para la quinta musical, y 3:4 para la cuarta. Pitagoras y sus seguidores procedieron a describir el universo completo en terminos de relaciones armonicas simples, desde la armonia de los individuios en la sociedad hasta la armonia de las esferas en las alturas. Aunque la mayoria de los detalles del modelos universal de Pitagoras han sido reemplazados, su vision de un mundo descrito por relaciones matematicas concretas y logicas aun esta viva.

El tono percibido en la cuerda de Pitagoras es proporcional a la frecuencia a la cual vibra. Mas aun, relaciones musicalmente utiles como octavas y quintas no estan definidas por diferencias de frecuencia sino por ratios de frecuencias. Asi, una octava, definida como un ratio de frecuencia de 2:1, es percibida (mas o menos) como la misma, ya este en lo alto (ej. 2000 a 1000 Hz) o en la frecuencia baja (ej. 250 a 125 Hz). Tales ratios son llamados intervalos musicales.

El Instituto Nacional Americano de Estandares define el tono como:

el atribudo de la sensacion auditiva en terminos del cual los sonidos se pueden ordenar en una escala extendiendose del bajo al alto.

Ya que las ondas seno tienen tonos no ambiguos (cualquiera los ordenaria igual de bajo a alto), un orden cualquiera se puede lograr comparando un sonido de tono desconocido a una onda seno en varias frecuencias. El tono de la sinusoide que mas cercanamente iguala al sonido desconocido es entonces llamado el tono de ese sonido.

La determinaciones de tono son sencillas cuando se trabaja con cuerdas y con la mayoria de los instrumentos armonicos. Por ejemplo, refiramonos denuevo al espectro de una cuerda ideal en Fig. 2.6 y al espectro medido de una cuerda real en Fig 2.5. En ambos casos el espectro consiste en una coleccion de parciales armonicos con frecuencias f, 2f, 3f..., ademas de (en el caso de una cuerda real) algunos ruidos no relacionados. El tono percibido sera f, es decir, si se pide encontrar una onda senoidal pura que mas cercanamente iguale el sonido de la cuerda, invariablemente los escuchadores elegiran una con frecuencia f.

Pero es facil generar sonidos electronicamente con un tono dificil de predecir. Para el caso, en Fig 2.10 parte (a) se muestra una forma de onda simple con un tono zumbante. Tienen el mismo periodo y tono de (b), aunque el zumbante es de una caracter marcadamente distinto. El sonido es lentamente cambiado desde (c) a (d) (manteniendo su periodo) en (e). Pero (e) es el mismo (a) al doble de velocidad, y es escuchado una octava arriba de (a)! En algun lugar entre (b) y (e) el sonido salta una octava. Esto se demuestra en un ejemplo en video V:2...

El espectro de los tonos zumbantes en Fig.2.10 es mostrada a al lado derecho. Como el ejemplo de la cuerda mas arriba (a) y (e) consisten mayormente de parciales relacionados armonicamente a multiplos de una fundamental en 1/P para (a) y a 2/P para (e). Por esto son percibidos a esas dos frecuencias una octava aparte. Pero ya que las formas de onda (b), (c), y (D) cambian suavemente desde (a) a (E), el espectro se mueve suavemente tambien. Los cambios en las magnitudes de los parciales no son monotonicas, y desafortunadamente, no son obvias desde los planos exactamente donde el tono saltara.

 
Fig. 2.10

Tono virtual

Cuando no hay una fundamental discernible, el oido a veces crea una. Tal tono virtual, cuando el tono del sonido no es el mismo tono de alguno de sus parciales, es un aspecto de la escucha holistica. El tono virtual es vehementemente demostrado en el CD D:21, donde la cancion "las campanillas de Wensminster" es reproducida solo con los armonicos superiores. En una demostracion, el sonido tiene un espectro como el mostrado en Fig. 2.11. Esta nota particular tiene parciales en 780, 1040, y 1300 Hz, lo cual claramente no es una serie armonica. Esos parciales son, en todo caso, cercanamente relacionados a las series armonicas con fundamental en 260 Hz, porque el parcial mas bajo es 260 veces 3, el medio es 260 veces 4 y el mas alto es 260 veces 5. El oido parece recrear la fundamental perdida, y esta pefcepcion es lo suficientemente fuerte para sostener la reproduccion de melodias, aun cuando los armonicos particulares usados para generar el sonido cambian de nota a nota.

 
Fig. 2.11

El tono de las notas complejas tocando "las campananillas de Westminster" es determinado por la plantilla armonica mas cercana, que es el promedio de las tres frecuencias divididas por sus numeros parciales. Cuando se presentan las tres notas separadas V:3 suenan como sinusoides de alta frecuencia a 780, 1040, y 1300 Hz (que de hecho son). Juntas, crean la percepcion de un solo sonido a 260 Hz. Cuando los parciales no se relacionan a ninguna serie armonica, las teorias recientes sugieren que el oido intenta encontrar una serie armonica cercana y de algun modo derivar un tono de aquellas series cercanas. Por ejemplo, si los parciales estuvieran por sobre 20 Hz, a 800, 1060, y 1320 Hz, entonces un tono virtual seria percibido alrededor de 265 Hz. En V:4 se reproducen las tres ondas por separado y luego juntas. El sonido resultante se alterna con una onda senoidal a 265 Hz para comparar.

Un fenomeno interesante resulta cuando los parciales se relacionan a mas de una serie armonica. Considere dos sonidos:

i- con parciales en 600, 800, y 1000 Hz

ii- Con parciales en 800, 1000, y 1200 Hz

Ambos tienen un claro tono virtual a 200Hz. El primero contiene el tercer, cuarto y quinto parcial, mientras el segundo contiene el cuarto, quinto, y sexto parcial. El ejemplo sonoro S:6 comienza con la primera nota y asciende agregando 20 Hz a cada parcial. Cada nota resultante se alterna con una onda seno en el tono virtual. Similarmente, el ejemplo sonoro S:7 comienza con la segunda nota y desciende sustrayendo 20 Hz de cada parcial. otra vez, la nota y una onda seno en el tono virtual se alternan. La frecuencia de todas las notas esta en la tabla 2.2. Para entender lo que esta pasando, observe que cada nota en la tabla puede ser vista de dos formas; como los parciales 3, 4, y 5 de la notas ascendentes o como los parciales 4, 5, y 6 de las notas descendenetes. Por ejemplo, la cuarta nota tiene parciales a (660/3+860/4+1060/5)/3=215.6 o en (660/4+860/5+1060/6)/3=171.2 dependiendo del contexto en el cual este presentada! El tono virtual ha sido explorado extensamente en la literatura, considerando factores como la importancia de los parciales individuales y sus amplitudes.

Esta ambiguedad del tono virtual es vagamente similar conocida ilusion del vaso/cara de Rubin de Fig 2.12 donde dos caras blancas pueden ser vistas en un fondo negro, o un vaso negro puede ser visto contra un fondo blanco. Es dificil percibir ambas imagenes simultaneamente. Similarmente, el

tono virtual de la cuarta nota puede ser oido como 215 cuando es parte de una secuencia ascendente, o puede ser oido como 171 cuando lo rodea un tono descendiente apropiado, pero es dificil percibir ambos simultaneamente.

Quizas la conclusion mas clara es que la determinacion del tono para notas inarmonicas complejas no es simple. El tono virtual es un fenomeno fragil que puede ser influenciado por muchos factores, incluyendo el contexto en el cual los sonidos se presentan. Cuando se enfrenta a un ambiguo grupo de parciales el oido parace escuchar lo que le hace mas sentido. Si un tono virtual potencial es parte de una secuencia logica, entonces puede ser preferido sobre otro tono virtual que no es obviamente parte de la progresion.

Tono y tono virtual son propiedades de un solo sonido. Para el caso, un acorde tocado por el violin, viola y cello de un cuarteto de cuerdas usualmente no se piensa que tenga un tono, por lo general el tono se asocia a cada tono instrumental por separado. Por lo tanto, determinar el tono o tonos de un sonido complejo requiere que primero sea particionado en entidades perceptuales separadas. Solo cuando un cumulo de parciales se fusiona en un solo sonido puede ser asignado a un tono. Cuando se escucha analiticamente, por ejemplo, pueden haber mas "notas" presentes que en el mismo sonido escuchado holisticamente. El sonido complejo puede fisionarse en dos o mas "notas" y ser percibido como un acorde. En el caso extremo, cada parcial puede ser separadamente asignado a un tono, y el sonido puede ser descrito como un acorde.

Finalmente, la sensacion de tono requiere tiempo. Sonidos que son demasiado cortos se escuchan como un click, sin importar el contenido frecuencial subyacente. Pruebas con ondas senoidales puras muestran que un tipo de principio de indeterminacion auditiva sucede en cuanto toma mas tiempo determinar el tono en una nota de frecuencia grave que en una nota de frecuencia alta.

 
Fig. 2.12